设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.
(1)若C的方程为-y2=1,n=3.点P1(3,0)及S3=162,求点P3的坐标;(只需写出一个)
(2)若C的方程为y2=2px(p≠0).点P1(0,0),对于给定的自然数n,证明:(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xm+p)2成等差数列;
(3)若C的方程为+=1(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值.
解:(1)a1=|OP1|2=9,由S3=(a1+a3)=162,得a3=|OP3|3=99. 由得 ∴点P3的坐标可以为(3,3). (2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意|OPk|2=(k-1)d,及 得xk2+2pxk=(k-1)d. ∴xk2+2pxk=(k-1)d, 即(xk+p)2=p2+(k-1)d, ∴(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xn+p)2是首项为p2,公差为d的等差数列. (3)解法一:原点O到二次曲线C:+=1(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. ∵a1=|OP1|2=a2,d<0,且an=|OPn|2=a2+(n-1)d≥b2, ∴≤d<0.∵n≥3,>0 ∴Sn=na2+d在[,0)上递增, 故Sn的最小值为na2+·=. 解法二:对每个自然数k(2≤k≤n),由 解得yk2=. ∵0<yk2≤b2,得≤d<0 ∴≤d<0 以下与解法一相同. |
科目:高中数学 来源: 题型:044
设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n³3,nÎN)是二次曲线C上的点,且构成了一个公差d(d¹0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.
(1)若C的方程为.点P1(3,0)及S3=162,求点P3的坐标;(只需写出一个)
(2)若C的方程为y2=2px(p¹0).点P1(0,0),对于给定的自然数n,证明:(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xn+p)2成等差数列;
(3)若C的方程为.点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值.
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科目:高中数学 来源:数学教研室 题型:044
(1)若C的方程为.点P1(3,0)及S3=162,求点P3的坐标;(只需写出一个)
(2)若C的方程为y2=2px(p¹0).点P1(0,0),对于给定的自然数n,证明:(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xn+p)2成等差数列;
(3)若C的方程为.点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
设P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,P2(x2,y2)是不在直线l上的点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线与l的关系是( )
A.平行 B.重合
C.相交 D.位置关系不确定
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科目:高中数学 来源:上海高考真题 题型:解答题
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