Question

5．已知a＞0，b＞0，且a＞b，用分析法证明$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＜$\sqrt{a-b}$．

Answer 1

分析 运用分析法证明．a＞0，b＞0，且a＞b，可得a-b＞0，且$\sqrt{a}$＞0，$\sqrt{b}$＞0，$\sqrt{a-b}$＞0，要证原不等式成立，移项两边平方，化简整理，即可得证．

解答 证明：运用分析法证明．
a＞0，b＞0，且a＞b，可得a-b＞0，
且$\sqrt{a}$＞0，$\sqrt{b}$＞0，$\sqrt{a-b}$＞0，
要证$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＜$\sqrt{a-b}$，
即证$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{a-b}$，
两边平方可得，a＜b+a-b+2$\sqrt{b（a-b）}$，
即为a＜a+2$\sqrt{b（a-b）}$，
即2$\sqrt{b（a-b）}$＞0，显然成立．
则不等式$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＜$\sqrt{a-b}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，以及不等式的性质，考查运算和推理能力，属于基础题．