Question

【题目】如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．

（1）求轨迹的方程；

（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）

【解析】

试题（1）首先由题意可知，显然，当时，点的坐标为，当时，，可将转化为正切值即斜率之间的关系，从而可以得到，所满足的关系式，即可得到轨迹方程：，即，化简可得，，而点也在曲线，轨迹的方程为；（2）首先将直线方程与轨迹的方程联立，消去并化简后可得：，故若设，的坐标分别为，，则问题等价于在有两个大于的根，，且的条件下，求的取值范围，因此首先根据方程有两个大于的正根，可求得的取值范围是，再由求根公式，可将表示为关于的函数关系：，在下，可得，即的取值范围是．

试题解析：（1）设的坐标为，显然有，且，

当时，点的坐标为，

当时，，由，

有，即，化简可得，，而点也在曲线，

综上可知，轨迹的方程为；

（2）由，消去并整理，得，

由题意，方程有两根且均在内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴，解得，且，

又∵，∴，设，的坐标分别为，，由及方程有

，，

∴，

由，得，

故的取值范围是．