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(1)(用综合法证明) 若a>0,b>0,求证:数学公式
(2)(用反证法证明) 已知x,y∈R+,且x+y>2,求证:数学公式数学公式中至少有一个小于2.

解:(1)证明:∵a>0,b>0,
,(当且仅当a=b时,取“=”号)…(2分)
,∴. …(6分)
(2)假设: 都大于或等于2,
∵x,y∈R*,∴
∴2+x+y≥2x+2y,∴x+y≤2,这与x+y>2矛盾,…(11分)
∴假设不成立.
所以,中至少有一个小于2. …(12分)
分析:(1)根据a>0,b>0,可得,同理可证,相乘即得所证.
(2)假设 都大于或等于2,可得 ,从而推出x+y≤2,这与x+y>2矛盾,故假设不成立,
命题得证.
点评:本题考查用综合法法和反证法证明不等式,用反证法证明数学命题时,推出矛盾,是解题的关键和难点,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)(用综合法证明) 若a>0,b>0,求证:(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4

(2)(用反证法证明) 已知x,y∈R+,且x+y>2,求证:
1+x
y
1+y
x
中至少有一个小于2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)用综合法证明:a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R+);
(2)用分析法证明:若a,b,m∈R+,且b<a,则
b
a
b+m
a+m

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科目:高中数学 来源: 题型:

某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有(  )种.

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科目:高中数学 来源: 题型:

某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有(   )种

A.8    B.15   C.18   D.30

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