Question

已知曲线C参数方程为

x=2cosθ y=sinθ

，θ∈[0，2π)，极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．圆T的极坐标方程为ρ²+4ρcosθ+4=r²，曲线C与圆T交于点M与点N．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程与圆T直角坐标方程；
（Ⅱ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的同角公式消去参数θ即得曲线C的普通方程；利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆T的普通方程．
（II）根据点M与点N关于x轴对称，利用直角坐标方程或参数方程，设出N的坐标，再利用点M在椭圆C上，利用数量积的坐标表达式得出

TM

•

TN

的表达式，最后利用二次函数的性质求其最小值及求此时圆T的方程．

解答：解：（I）椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）--------（5分）
（II）方法一：点M与点N关于x轴对称，设N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以y12=1-

x12

4

．（*）
由已知T（-2，0），则

TM

=(x1+2， y1)，

TN

=(x1+2， -y1)，∴

TM

•

TN

=(x1+2， y1)•(x1+2， -y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

x12+4x1+3=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故当x1=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=

13

25

．
故圆T的方程为：(x+2)2+y2=

13

25

．--------（13分）
方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），则

TM

•

TN

=(2cosθ+2， sinθ)•(2cosθ+2， -sinθ)=（2cosθ+2）²-sin²θ=5cos²θ+8cosθ+3=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．
故当cosθ=-

4

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

，此时M(-

8

5

，

3

5

)，
又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=

13

25

．故圆：(x+2)2+y2=

13

25

．

点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，数量积的坐标表达式，属于基础题．