Question

选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C₁为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C₂的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C₁的交点为A，ι与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为

3

的直线m与曲线C₁交于D、E两点，求|PD|与|PE|差的绝对值．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程 x²+y²-6x=0，求得C₁的直角坐标方程．根据当α=0时，
|AB|=4，求得a的值，即可得到C₂的直角坐标方程．
（2）先求得m的参数方程，把它代入C₁的直角坐标方程，再利用根与系数的关系求得 t₁+t₂ 和 t₁•t₂ 的值，
再根据参数的意义可得|PD|-|PE|=|t₁+t₂|的值．

解答：解：（1）由曲线C₂的方程：ρ=6cosθ得 ρ²=6ρcosθ，所以C₂的直角坐标方程是 x²+y²-6x=0．--（2分）
由已知得C₁的直角坐标方程是

x2

a

+y²=1，
当a=0时射线l与曲线C₁、C₂交点的直角坐标为A（a，0）、B （6，0），-----（3分）
∵|AB|=4，∴a=2，∴C₁的直角坐标方程是

x2

4

+y²=1．①----（5分）
（2）m的参数方程为

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

 （t为参数），②-------（7分）
将②带入①得13t²+4t-12=0，设D、E 点的参数分别是t₁、t₂，
则有 t₁+t₂=-

4

13

，t₁•t₂=-

12

13

．-------（8分）
∴|PD|-|PE|=|t₁+t₂|=

4

13

．------（10分）

点评：本题主要考查把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，一元二次方程根与系数
的关系，属于基础题．