Question

已知α，β是关于x的二次方程2x²-tx-2=0的两个根，且α＜β，若函数f(x)=

4x-t

x2+1

．
（1）求

f(α)-f(β)

α-β

的值；
（2）对任意x₁，x₂∈（α，β），求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜2|α-β|．

Answer 1

分析：（1）利用韦达定理，直接代入计算，可得结论；
（2）先证明函数在（α，β）上单调递增，再利用（1）的结论，即可得到结论．

解答：（1）解：由题意，α+β=

t

2

，αβ=-1，则t=2α+2β
∴

f(α)-f(β)

α-β

=

4α-t α2+1 - 4β-t β2+1

α-β

=2(

1

α2+1

+

1

β2+1

)=2×

α2+β2+2

(αβ)2+(α2+β2)+1

=2×

α2+β2+2

1+(α2+β2)+1

=2×

α2+β2+2

α2+β2+2

=2；
（2）证明：求导函数可得f′(x)=

-4x2+2tx+4

(x2+1)2

∵x∈（α，β），∴2x²-tx-2＜0，
∴-4x²+2tx+4＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上单调递增
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜f（β）-f（α）
由（1）知，f（β）-f（α）=2（β-α）
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜2|α-β|．

点评：本题考查韦达定理的运用，考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．