Question

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=(n，n+1)，n∈N^*．下列命题中真命题是（　　）

• A、若?n∈N^*总有

  cn

  ∥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等差数列
• B、若?n∈N^*总有

  cn

  ∥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等比数列
• C、若?n∈N^*总有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等差数列
• D、若?n∈N^*总有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等比数列

Answer 1

分析：由题意根据向量平行、垂直的坐标表示可得a_n，从而可进行判断．

解答：解：由

Cn

∥

bn

可得，na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

n+1

=

an

n

，于是

an+1

an

=

n+1

n

，
则a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…

a2

a1

•a₁=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…

2

1

•a₁=na₁，数列{a_n}为等差数列，
故A正确，B错误；
若

cn

⊥

bn

，则有na_n+（n+1）a_n+1=0，分析可得

an+1

an

=-

n

n+1

，
则a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…

a2

a1

•a₁，
分析易得此时数列{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，C、D均错误；
故选A．

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题．