Question

以知{a_n}前项n和s_n=2a_n-1（n∈N），（1）证明{a_n}是等比数列；（2）求{a_n}通项公式；（3）求{a_n}前n项的和．

Answer 1

解：（1）∵s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1，（n≥2），
∴两式相减得：s_n-s_n-1=a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即，
又令n=1，得到s₁=a₁=2a₁-1，解得：a₁=1，
同理令n=2，得到a₂=2，此两项满足此关系，
则数列{a_n}为等比数列；（5分）
（2）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
∴通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（3）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
则前n项和公式s_n===2ⁿ-1．
分析：（1）由已知的前n项和公式S_n，当n大于等于2时，得到S_n-1，然后两式相减，利用递推式S_n-S_n-1=a_n，得到a_n=2a_n-1，得到当n大于等于2时后项与前项之比为2，最后分别令n=1和2，求出a₁和a₂的值，验证也满足后项与前项之比为2，从而得到此数列为等比数列；
（2）由（1）得出此数列为首项是1，公比是2的等比数列，写出其通项公式即可；
（3）同理，由（1）得出此数列为首项是1，公比是2的等比数列，写出其求和公式即可．
点评：此题考查了等比数列的确定，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，灵活运用数列的递推式S_n-S_n-1=a_n（n≥2）是确定等比关系的关键．