Question

（2010•吉安二模）已知函数f(x)=-

1

3

x3+bx+cx+bc(b、c∈R，且b≠0），求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点．

Answer 1

分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，解得x₀=0或x₀=2b再对x的值进行分类讨论：①当x₀=0，②当x₀=2b，分别求得公共点的坐标，最后综合即可．

解答：解：设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线的斜率为c

∵f′(x)=-x2+2bx+c ∴- x 2 0 +2bx0+c=c

解得x₀=0或x₀=2b…（2分）
①当x₀=0，则f（0）=bc得切点为（0，bc），切线方程为y=cx+bc
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc…（4分）

?x3-2bx2=0解得x1=x2=0， x3=3b则此时切线y=cx+bc

与曲线y=f（x）的公共点为（0，bc），（3b，4bc）…（6分）
②当x₀=2b，则f（2b）=

4

3

b3+2bc，
得切点为(2b，

4

3

b3+2bc)，切线方程为y=cx+bc+

4

3

b3
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc+

4

3

b3…（8分）

?x3-2bx2+4b3=0解得x1=x2=2b， x3=-b，则此时y=cx+bc+ 4 3 b3与曲线

y=f(x)的公共点为(2b，

4

3

b3+3bc)，(-b，

4

3

b3)…（11分）
综合上述，当b≠0时，斜率为c的切线与曲线y=f（x）有两个不同的公共点，
分别为(0，bc)和(3b，4bc)，或(2b，

4

3

b3+2bc)和(-b，

4

3

b3)…（12分）

点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．