Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AA₁=4，
（1）求异面直线AB与B₁C所成角的余弦值；
（2）求证：面ACB₁⊥面ABC₁．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C，∵A₁B₁∥AB，∴∠A₁B₁C即为AB与B₁C所成角或其补角，在△A₁B₁C中，利用余弦定理即可求得答案，注意异面角的范围；
（2）分别以

CA

，

CB

，

CC1

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACB₁，平面ABC₁的法向量，只需证明两法向量垂直即可；

解答：（1）解：连接A₁C，∵A₁B₁∥AB，∴∠A₁B₁C即为AB与B₁C所成角或其补角，
在Rt△CBB₁中，CB₁=

BC2+BB12

=

42+42

=4

2

，在Rt△A₁AC中，A1C=

A1A2+AC2

=

42+32

=5，
在Rt△ACB中，AB=

AC2+CB2

=

32+42

=5，
在△A₁B₁C中，由余弦定理得，cos∠A₁B₁C=

A1B12+CB12-A1C2

2×A1B1×CB1

=

52+(4 2 )2-52

2×5×4 2

=

2 2

5

，
故异面直线AB与B₁C所成角的余弦值为

2 2

5

．
（2）证明：分别以

CA

，

CB

，

CC1

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），C₁（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），

CB1

=（0，4，4），

CA

=（3，0，0），

AC1

=（-3，0，4），

AB

=（-3，4，0），
设

n1

=（x，y，z）为平面ACB₁的一个法向量，则

n1 • CB1 =0 n1 • CA =0

，即

4y+4z=0 3x=0

，取

n1

=（0，1，-1），
设

n2

=（x，y，z）为平面ABC₁的一个法向量，则

n2 • AC1 =0 n2 • AB =0

，即

-3x+4z=0 -3x+4y=0

，取

n2

=（4，3，3），
因为

n1

•

n2

=（0，1，-1）•（4，3，3）=0×4+1×3+（-1）×3=0，
所以

n1

⊥

n2

，
故面ACB₁⊥面ABC₁．

点评：本题考查异面角的求解及面面垂直的判定问题，熟练掌握相关的常用方法是解决问题的基础，属中档题．