Question

已知函数f（x）=

e2

x

-

a

x

-alnx（a∈R）（e≈2.718，

e

=1.6487，ln2=0.6931）．
（1）当a=0时，若f（x）在（2，f（2））的切线与以（1，-4）为圆心，半径为r的圆相切，求r的值；
（2）当x＞

1

2

时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,圆的切线方程

专题：计算题,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）当a=0时，f（x）=

e2

x

，f′（x）=-

e2

x2

；从而可得切线方程，再求半径．
（2）f（x）＞0可化为a（1+xlnx）＜e²；从而化为a＜

e2

1+xlnx

；令h（x）=1+xlnx，h′（x）=lnx+1=0；从而求最值．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=

e2

x

，f′（x）=-

e2

x2

；
f（2）=

e2

2

，f′（2）=-

e2

4

；
故切线方程为e²x+4y-4e²=0，
则r=

|e2-16-4e2|

e4+16

=

16+3e2

e4+16

；
（2）f（x）＞0可化为
a（1+xlnx）＜e²；
故a＜

e2

1+xlnx

；
令h（x）=1+xlnx，h′（x）=lnx+1=0；
故x=

1

e

；
故h（x）=1+xlnx在（

1

2

，+∞）上增函数，
故h（x）＞1-

1

2

ln2；
故a＜

e2

1- 1 2 ln2

=

2e2

2-ln2

；
故实数a的取值范围为（-∞，

2e2

2-ln2

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及最值问题，属于中档题．