Question

将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式和定义域；
（2）求函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数的图象的平移变换和伸缩变换规律求得函数g（x）的解析式．
（2）根据函数y=F（x）=，令，则利用基本不等式求得u的最大值为，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，求得函数y=F（x）的最大值．
解答：解：（1）将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=log₂（x+2）的图象，
再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2log₂（x+2）的图象，
故函数g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．…（4分）
（2）函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log₂（x）-2log₂（x+2）=．…（6分）
令，则u==≤，当且仅当x=2时取等号．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，…（10分）
故当x=2时，即u=时，函数y=F（x）=log₂u取得最大值为 =-3． …（12分）
点评：本题主要考查函数的图象的平移变换和伸缩变换，基本不等式的应用，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．