Question

已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，有极小值（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）当时，，令0，得，

且当，

故，当.                                  ……4分

（2）∵，∴．

∵在上是增函数，

∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．

令，则≤．

∵在上是增函数，∴．

∴．所以实数的取值范围为．                               ……10分 

（3）由（1）得，．

①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．

所以，解得（舍去）．

②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．

所以，解得（舍去）．

③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．

所以，所以．

综上所述，．                                                      ……16分

考点：本小题主要考查利用导数解决极值、最值和恒成立问题，考查学生分类讨论思想的应用和运算求解能力.

点评：导数是研究函数的工具，千万不要忘记函数的定义域，另外恒成立问题通常转化为最值问题解决，还要注意分类讨论时要不重不漏.