Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的

3

倍，其上一点到右焦点的最短距离为

3

-

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+b与圆O：x2+y2=

3

4

相切，且交椭圆C于A、B两点，求当△AOB的面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)右焦点（c，0），则

a= 3 b  & &(1) a-c= 3 - 2 ，(2)

，由此能够求出椭圆C的标准方程．
（2）由Q_y=kx+b与圆x2+y2=

3

4

相切，知b2=

3

4

(k2+1)．由

y=kx+b x2+3y2=3

消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0．再由根的判别式和根与系数的关系结合题设条件进行求解．

解答：解：（1）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)右焦点（c，0）
则

a= 3 b  & &(1) a-c= 3 - 2 ，(2)

由（1）得a²=3b²代a²-b²=c²得c²=2b²
代（2）得

3

b-

2

b=

3

-

2

∴b=1，a=

3

∴C：

x2

3

+y2=1
（2）Q_y=kx+b与圆x2+y2=

3

4

相切
∴

|b|

k2+1

=

3

2

∴b2=

3

4

(k2+1)
由

y=kx+b x2+3y2=3

消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0
又△=12（3k²-b²+1）（3）
Qx1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1•x2=

3(b2-1)

1+3k2

∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=(1+k2)•[(-

6kb

1+3k2

)2-4•

3(b2-1)

1+3k2

]
=(1+k2)•

36k2b2-12(b2-1)(1+3k2)

(1+3k2)2

=(1+k2)•

-12b2+36k2+12

(1+3k2)2

=(1+k2)•

-12• 3 4 (k2+1)+36k2+12

(1+3k2)2

=

27k4+30k2+3

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

当k=0时，|AB|²=3，
当k≠0时，|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2 9k2• 1 k2 +6

=4
（当k=±

3

3

时“=”成立）
∴|AB|_max=2
∴(S△AOB)max=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

此时b²=1且（3）式△＞0
∴l：y=±

3

3

±1

点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．