Question

设F₁，F₂为椭圆C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左、右焦点，点P⊆C且

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=4（1）求椭圆C的方程；
（2）作以F₂为圆心，以1为半径的圆，过动点Q作圆F₂的切线，切点为且使|

QF1

|=

2

|

QM

|，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由a²=6m²，b²=2m²，知2c²=4m²，由

PF1

•

PF2

=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，由椭圆定义知|

PF1

| +|

PF2

| =2

6

m，由此能得到所求的椭圆方程．
（2）由F₁（-2，0），F₂（2，0），设Q（x，y），知|

QF1

| =

2

|

QM

|，（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，由此能得到所求的轨迹方程．

解答：解：（1）∵a²=6m²，b²=2m²，
∴2c²=4m²，
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，
由椭圆定义知，|

PF1

| +|

PF2

| =2

6

m，
∴16m²+8=24m²，
∴m²=1，
故所求的椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设Q（x，y），
∵|

QF1

| =

2

|

QM

|，
∴|

QF1

|2=2|

QM

|2=2(|

QF2

|2-1)，
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
化简，得（x-6）²+y²=34，
故所求的轨迹方程为（x-6）²+y²=34．

点评：本题考查椭圆的方程和点的轨迹方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．