Question

在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：c_n^m=C_n^n-m．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

Answer 1

分析：性质②所对应的组合数的另一个性质是

C

m n+1

=

C

m n

+

C

m-1 n

，利用组合数公式进行证明即可．

解答：解：（1）性质②所对应的组合数的另一个性质是
      

C

m n+1

=

C

m n

+

C

m-1 n

   
（2）因为

C

m n+1

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

     

C

m n

+

C

m-1 n

=

n!

m!(n-m)!

+

n!

(m-1)!(n+1-m)!

                 
=

n![(n+1-m)+m]

m!(n+1-m)!

=

n!(n+1)

m!(n+1-m)!

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

所以

C

m n+1

=

C

m n

+

C

m-1 n

点评：本题考查了组合数的性质及其证明，考查组合数公式的应用．