Question

19．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，且a₁=1，则数列{a_n•a_n+1}的前10项的和S₁₀=$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，且a₁=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{a_n•a_n+1}的前10项的和S₁₀=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故答案为：$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．