Question

已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

（1）求函数与的解析式；

（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；     若不存在，说明理由．

（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．

Answer 1

本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．

解：（Ⅰ）由函数的周期为，，得

又曲线的一个对称中心为，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

（Ⅱ）当时，，

所以

问题转化为方程在内是否有解

设，

则

因为，所以，在内单调递增

又，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，

即存在唯一的满足题意

（Ⅲ）依题意，，令

当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，

现研究时方程解的情况

令，

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

，令，得或

当变化时，和变化情况如下表

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；

当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；

当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点

由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以

综上，当，时，函数在内恰有个零点