Question

对于满足条件a₁²+a_n+1²≤1的所有等差数列{a_n}中，a_n+1+a_n+2+…a_2n+1的最大值为（　　）

• A、

  5

  2

  n
• B、

  10

  2

  n
• C、

  5

  2

  (n+1)
• D、

  10

  2

  (n+1)

Answer 1

分析：欲求a_n+1+a_n+2+…a_2n+1的最大值，先由等差数列的求和公式得到a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1=(n+1)

3an+1-a1

2

，再由柯西不等式即可得到答案

解答：解：a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1=(n+1)

an+1+a2n+1

2

=(n+1)

an+1+2an+1-a1

2

=(n+1)

3an+1-a1

2

由柯西不等式得3an+1-a1≤

32+(-1)2

(an+1 2+a1 2)=

10

所以a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1≤

10

2

(n+1)
故选D．

点评：本题考点是柯西不等式及等差数列的性质，灵活转化选用解答方法是解题的关键．