Question

【题目】已知函数 ， （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）证明： （n∈N+ ， n≥2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，（x＞0）， ， 即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值．
（Ⅱ）方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx， ，
k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1，
则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
当k≤0时，g'（x）≥0；
当k＞0时，由g'（x）＞0得 ，
即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数；
当k＞0时， 上为增函数；在 上为减函数．
∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，
即要求g（x）≤0恒成立，
∴k＞0符合，且 ，得k≥1．
（Ⅲ）证明： ，由（Ⅰ）知 ，
则 （当且仅当x=1取等号）．
令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，则有

∴ ，
∴
【解析】（Ⅰ） ，（x＞0）， ，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间、极值；（Ⅱ）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出． 方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1， ，对k分类讨论研究其单调性即可得出；（Ⅲ） ，由（Ⅰ）知： （当且仅当x=1取等号）．令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．