Question

（2011•通州区一模）已知函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b（a，b为常数）．
（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（II）若f（x）在区间[-2，1]上是单调递减的，求a的取值范围；
（III）当a＞1时，比较f(

1

2

logmt)与f(logm

t+1

2

)的大小．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），由x=2取得极值得到f'（2）=0，求解得到a的值即可；
（Ⅱ）利用导数可知f^′（x）≤0（x∈[-2，1]），通过分离参数，再转化为利用导数求一个函数的最值问题即可．
（III）当a＞1时，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，从而函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函数，再利用基本不等式得出

t+1

2

≥t

1

2

，下面就m的取值分类讨论，即可得出结果．

解答：解：（I）f'（x）=x²+2x+a．
因f（x）在x=2取得极值，所以f'（2）=4+4+a=0．解得a=-8．
经检验知当a=-9时，x=2为f（x）为极值点．
（II）∵f'（x）=x²+2x+a，
由已知得x²+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，
∴a≤-x²-2x在[-2，1]上恒成立．
∴a≤-1²-2×1=-3．
故a≤-3．
（III）当a＞1时，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，
∴函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函数，
由于

t+1

2

≥t

1

2

，
①当m＞1时，

1

2

logmt≤logm

t+1

2

，∴f(

1

2

logmt)≤f(logm

t+1

2

)；
②当0＜m＜1时，

1

2

logmt≥logm

t+1

2

，
∴f(

1

2

logmt)≥f(logm

t+1

2

)．

点评：考查学生利用导数研究函数极值及单调性，不等关系与不等式．熟练掌握利用函数的导数研究函数的单调性及使用分离参数法求参数的取值范围是解题的关键．