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一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,且该正三棱锥的体积是
3
4
,则球的体积为(  )
分析:根据正三棱锥的四个顶点都在球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,所以球心是底面三角形的中心,球的半径,就是三棱锥的高,再求底面面积,即可求解三棱锥的体积的解析式,从而求出球半径,最后利用球的体积公式计算即得.
解答:解:正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,所以球心是底面三角形的中心,
设球的半径为R,所以底面三角形的边长为a,
2
3
×
3
2
a=R,a=
3
R,
该正三棱锥的体积:
1
3
×
3
4
×(
3
R)2×R=
3
4

∴R=1,
则球的体积为
4
3
π

故选B.
点评:本题考查棱锥的体积,棱锥的外接球的问题,考查空间想象能力,是基础题.
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一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是(  )
A、
3
3
4
B、
3
3
C、
3
4
D、
3
12

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