Question

15．数列{a_n}的首项a₁=1，且满足对任意的a₁=1，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，则a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．

Answer 1

分析 由a_n+1-a_n≤2ⁿ，可得-a_n+1+a_n≥-2ⁿ，又a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，可得a_n+2-a_n+1=a_n+2-a_n-a_n+1+a_n≥2ⁿ⁺¹，即a_n+1-a_n≥2ⁿ，于是a_n+1-a_n=2ⁿ，再利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴-a_n+1+a_n≥-2ⁿ，
又∵a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+2-a_n-a_n+1+a_n≥3×2ⁿ-2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂₀₁₅=a₂₀₁₅-a₂₀₁₄+a₂₀₁₄-a₂₀₁₃+…+a₃-a₂+a₂-a₁+a₁
=2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2²+2+1
=$\frac{{2}^{2015}-1}{2-1}$
=2²⁰¹⁵-1．
故答案为：2²⁰¹⁵-1．

点评 本题考查了数列的递推关系、“累加求和”方法、等比数列的求和公式、不等式性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．