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已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点p满足:(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.
(I)求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型;
(Ⅱ)过点(0,1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若对于任意m>1,都有∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.
【答案】分析:(I)根据题意可判断出P是MN的中点.设出P,M,N的坐标,根据题意联立方程求得,然后对m>1,o<m<1和m=1对方程表示出曲线进行分类讨论.
(II)设出直线l的方程,与椭圆的方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用直线方程表示出y1y2,要使∠AOB为锐角,需,利用向量的基本运算整理得,利用基本不等式求得进而求得k的范围.
解答:解:(I)由,得P是MN的中点.
设P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2)依题意得:

消去x1,x2,整理得
当m>1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;
当o<m<1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;
当m=1时,方程表示圆.
(II)由m>1,焦点在y轴上的椭圆,直线l与曲线c恒有两交点,
因为直线斜率不存在时不符合题意,
可设直线l的方程为y=kx+1,直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
⇒(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0


要使∠AOB为锐角,则有
∴x1x2+y1y2=
即m4-(k2+1)m2+1>0,
可得,对于任意m>1恒成立.
,∴K2+1≤2,-1≤k≤1
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1].
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生知识的综合运用和分析问题的能力.
练习册系列答案
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已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点p满足:2
OP
=
OM
+
ON
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(I)求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型;
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OP
=
OM
+
ON
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