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    已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

    (1)求抛物线C的方程;

    (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.

     

    【答案】

    (1) x2=4y (2)

    【解析】

    解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则

    =1,所以抛物线C的方程为x2=4y.

    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.

    由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

    所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.

    由

    解得点M的横坐标xM===.

    同理,点N的横坐标xN=.

    所以|MN|=|xM-xN|=

    =8

    =.

    令4k-3=t,t≠0,则k=.

    当t>0时,|MN|=2>2.

    当t<0时,|MN|=2≥.

    综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.

     

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    已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
    （Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程；
    （Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为
    3
    		2
    2
    ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
    （3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点坐标为（5，7），求抛物线C的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞一模）已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A、B两点，若P（1，1）为线段AB的中点，则抛物线C的标准方程为
    y2=2x
    y2=2x
    ．

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