Question

已知，，若对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），则m的取值范围是

1. A.
   [0，]
2. B.
   [，0]
3. C.
   [，]
4. D.
   [，1]

Answer 1

C
分析：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-1，2]上值域，列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．
解答：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集
求导函数可得：f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1），∴函数f（x）在[-1，1）上单调减，在（1，2]上单调增
∴f（-1）=，f（1）=-，f（2）=，∴f（x）在[-1，2]上值域是[-，]；
m＞0时，函数g（x）在[-1，2]上单调增，∴g（x）在[-1，2]上值域是[-m+，2m+]
∴-m+≥-且≥2m+
∴0＜m≤
m=0时，g（x）=满足题意；
m＜0时，函数g（x）在[-1，2]上单调减，∴g（x）在[-1，2]上值域是[2m+，-m+]
∴2m+≥-且≥-m+
∴-≤m＜0
综上知m的取值范围是[，]
故选C．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．