Question

（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，

是正方形的中心，，平面，且

（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的

长．

 

Answer 1

本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

    方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

    依题意得

   

   （I）解：易得，

    于是

    所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为

   （II）解：易知

    设平面AA₁C₁的法向量，

    则即

    不妨令可得，

    同样地，设平面A₁B₁C₁的法向量，

    则即不妨令，

可得

于是

从而

所以二面角A—A₁C₁—B的正弦值为

   （III）解：由N为棱B₁C₁的中点，

得设M（a，b，0），

则

由平面A₁B₁C₁，得

即

解得故

因此，所以线段BM的长为

方法二：

（I）解：由于AC//A₁C₁，故是异面直线AC与A₁B₁所成的角.

因为平面AA₁B₁B，又H为正方形AA₁B₁B的中心，

可得

因此

所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为

（II）解：连接AC₁，易知AC₁=B₁C₁，

又由于AA₁=B₁A₁，A₁C₁=A₁=C₁，

所以≌，过点A作于点R，

连接B₁R，于是，故为二面角A—A₁C₁—B₁的平面角.

在中，

连接AB₁，在中，

，

从而

所以二面角A—A₁C₁—B₁的正弦值为

（III）解：因为平面A₁B₁C₁，所以

取HB₁中点D，连接ND，由于N是棱B₁C₁中点，

所以ND//C₁H且.

又平面AA₁B₁B，

所以平面AA₁B₁B，故

又

所以平面MND，连接MD并延长交A₁B₁于点E，

则

由

得，延长EM交AB于点F，

可得连接NE.

在中，

所以

可得

连接BM，在中，