Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．
（1）求证：CM∥平面SAE；
（2）求证：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱锥S-AED的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出MN∥AB且MN=AB，而正方形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；
（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=CD=1．△ESA中算出SE²+SA²=5=AE²，从而得到ES⊥SA，同理△ESB中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出SE⊥平面SAB．
（3）根据正方形的性质可得S_△AED=S_△ABE，从而得到V_S-AED=V_S-AEB=V_E-SAB，由（2）得SE是三棱锥E-SAB的高，从而算出V_E-SAB=，由此即可得到V_S-AED=V_E-SAB=．
解答：解：（1）取SA的中点N，连接MN，
∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=AB，
又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=AB，
∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，
∴CM∥EN，又EN?平面SAE，CM?平面SAE，
∴CM∥平面SAE．
（2）∵侧面SCD为直角三角形，∠CSD=90°，E为CD的中点，
∴SE=CD=1，
又∵SA=AB=2，AE=，
∴SE²+SA²=5=AE²，可得ES⊥SA，同理可证ES⊥SB，
∵SA∩SB=S，SA、SB?平面SAB，∴SE⊥平面SAB．
（3）根据题意，得V_S-AED=V_S-AEB=V_E-SAB，
∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱锥E-SAB的高
∴V_E-SAB=S_△SAB×SE==
因此，三棱锥S-AED的体积为V_S-AED=V_E-SAB=×=．
点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．