Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下求y=f（x）在[-3，2]上的最值及相应的x的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意知，f（1）=4，f'（1）=3，f'（-2）=0，从而解出参数值，从而得y=f（x）的表达式；
（2）令f′（x）=3x²+4x-4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0，且y=f（x）在x=-2时有极值；
∴

1+a+b+c=3+1 3+2a+b=3 3×(-2)2-4a+b=0

，
解得，a=2，b=-4，c=5；
则y=f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，
f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0解得，x=-2或x=

2

3

，
又∵x∈[-3，2]，
且f（-2）=13，f（

2

3

）=

95

27

，f（-3）=8，f（2）=13；
∴当x=±2时，f（x）取得最大值13；
当x=

2

3

进，f（x）取得最小值

95

27

．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了在闭区间上的最值问题，属于中档题．