Question

已知定圆Q：x²+y²-2x-15=0，动圆M和已知圆内切，且过点P（-1，0），
（1）求圆心M的轨迹及其方程；
（2）试确定m的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y=4x+m对称．

Answer 1

分析：（1）由圆Q：x²+y²-2x-15=0，我们易判断出圆Q的圆心为（1，0），半径为4，又由动圆M和已知圆内切，且过点P（-1，0），根据椭圆的定义，易得M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，进而求出圆心M的轨迹及其方程；
（2）若所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y=4x+m对称，则P、Q到直线l的距离相等，即线段PQ的中点M在直线l上，不妨另直线PQ与椭圆一定有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系，构造关于m，n的方程组，即可得到满足条件的m的范围．

解答：解 （1）已知圆可化为（x-1）²+y²=16，设动圆圆心M（x，y），则|MP|为半径，又圆M和圆Q内切，即|MP|+|MQ|=4，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中心为原点，故动圆圆心M的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为y=-

1

4

x+n，代入椭圆方程中有3x2+4(-

1

4

x+n)2-12=0，即13x²-8nx+16n²-48=0．
若要椭圆上关于直线l对称得不同两点存在，则需l′与椭圆相交，且两交点P、Q到直线l的距离相等，即线段PQ的中点M在直线l上，
故△=64n²-4×13×（16n²-48）＞0，∴-

13

2

＜n＜

13

2

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

8n

13

，y1+y2=-

1

4

(x1+x2)+2n=

24

13

n，∴

12n

13

=4×

4n

13

+m，
故m=-

4n

13

，∴n=-

13m

4

，
∴-

13

2

＜-

13m

4

＜

13

2

，
即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，关于点、直线对称的圆的方程，其中熟练掌握圆、椭圆的定义及性质是解答本题的关键．