Question

20．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（-1）^n-1•λ•b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$（λ为非零实数，n为正整数），试确定实数λ的取值范围，使得对任意的正整数n，都有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，利用a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，列出方程组，求解公差与公比，然后求解通项公式；
（Ⅱ）由c_n+1＞c_n恒成立，讨论n的奇偶将λ进行分离，利用恒成立的方法求出λ的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}{（1+12d）q=50}\\{（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（1+12d）q=50}\\{2d+q=6}\end{array}\right.$，解得：d=q=2，或$\left\{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
由于{b_n}是各项都为正整数的等比数列，所以d=q=2；
从而a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；   
（Ⅱ）c_n=2^2n-1+（-1）^n-1•λ•2^n-1，由c_n+1＞c_n恒成立，
即：2²ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ＞2^2n-1+（-1）^n-1•λ•2^n-1，
即有2ⁿ＞（-1）^n-1•λ恒成立．
当n为奇数时，2ⁿ＞λ，由2ⁿ递增，可得n=1时，取得最小值2，
即有λ＜2；
当n为偶数时，2ⁿ＞-λ，由2ⁿ递增，可得n=2时，取得最小值4，
即有-λ＜4，解得λ＞-4；
故实数λ的取值范围是（-4，2）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的单调性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．