Question

（理科）已知函数f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；
（2）当a=-1时，设f（x）的反函数为f^-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f^-1（x+1）的图象关于y=x对称，求g（1）的取值集合B；
（3）对于问题（1）（2）中的A、B，当a∈{a|a＜0，a∉A，a∉B}时，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，所以a=-1．当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立．由此能求出集合A．
（2）当a=-1时，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，互换x，y得f-x(x+1)=log2

x

x+2

，由此能求出集合B．
（3）原问题转化为g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立则

x-4＜0 g(0)≥0

或

x-4=0…1分 g(0)＞0…2分

，由此能求出x的取值范围．

解答：解：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，
所以a=-1，…2分
下面证充分性，当a=-1时，f(x)=

1+2x

1-2x

，
任取x≠0，x∈R．
f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立…2分
由A={-1}．…1分
（2）当a=-1时，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，
得x=log2

y-1

y+1

，
互换x，y得f-x(x+1)=log2

x

x+2

，…1分
从而log2

x

x+2

=1，x=-4
所以g（1）=-4．…2分
即B={-4}．…1分
（3）原问题转化为
g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，
a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，
则

x-4＜0 g(0)≥0

…2分
或

x-4=0…1分 g(0)＞0…2分

，
则x的取值范围为{1，4}…2分

点评：本题考查函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．