Question

已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．H为PD中点．
（1）证明：FH∥面PAB；
（2）证明：PF⊥FD；
（3）若PB与平米ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取PA的中点G，连接GB，GH，则
∵底面ABCD是矩形，H为PD中点
∴GH∥BF，GH=BF
∴四边形BFHG是平行四边形
∴FH∥BG
∵FH面PAB，BG面PAB
∴FH∥面PAB；
（2）证明：连接AF，则AF= ，DF= 
 ∵AD=2a，
∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，
又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF平面PAF，
∴DF⊥PF
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=a
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，
则PD⊥平面FMN，
则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴MN：PA=MD：PD，
∵PA=a，MD=a，PD= a，且∠FMN=90°
∴MN=a，FN=a，
∴cos∠MNF=MN：FN=