Question

某班学生春假需要选择春游线路，已知甲寝室与乙寝室各有6位同学，每人选择一条线路．甲寝室选择去乌镇游玩的有1人，选择去横店游玩的有5人，乙寝室选择去乌镇游玩的有2人，选择去横店游玩的有4人，现从甲寝室、乙寝室中各任选2人分析游玩线路问题．
（Ⅰ）求选出的4 人均选择游玩横店的概率；
（Ⅱ）设ξ 为选出的4个人中选择游玩乌镇的人数，求ξ 的分布列和数学期望Eξ

Answer 1

分析：（I）设“从甲寝室选出的2人选横店”为事件A，“从乙寝室选出的2人选横店”为事件B，然后根据古典概型的概率公式求出P（A）与P（B），而由于A和B事件相互独立，则选出的4 人均选择游玩横店的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）；
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3，然后根据等可能事件和相互独立事件的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）设“从甲寝室选出的2人选横店”为事件A，“从乙寝室选出的2人选横店”为事件B．
由于事 件A、B相互独立，且  P（A）=

C 2 5

C 2 6

=

2

3

，P（B）=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

．…（4分）
所以选出的4人均选择横店的概率为
P（A•B）=P（A）•P（B）=

2

3

×

2

5

=

4

15

…（6分）
（Ⅱ）设ξ可能的取值为0，1，2，3．得
P（ξ=0）=

4

15

，
P（ξ=1）=

C 2 5

C 2 6

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

+

C 1 5

C 2 6

×

C 2 4

C 2 6

=

22

45

，
P（ξ=3）=

C 1 5

C 2 6

×

1

C 2 6

=

1

45

，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

2

9

…（12分）
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	4 15	22 45	2 9	1 45

∴ξ的数学期望 Eξ=0×

4

15

+1×

22

45

+2×

2

9

+3×

1

45

=1       …（14分）

点评：本题主要考查了古典概型的概率公式，以及相互独立事件的概率和离散型随机变量的期望和分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．