Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，AD=

2

a，AB=

3

a，SA=SD=a．
（Ⅰ）求证：CD⊥SA；
（Ⅱ）求二面角C-SA-D的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）因为平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，所以CD⊥平面SAD．由此能够证明CD⊥SA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥SA．在△SAD中，SA=SD=a，AD=

2

a，所以SA⊥SD，所以SA⊥平面SDC．所以∠CSD为二面角C-SA-D的平面角．由此能够求出二面角C-SA-D的大小．
法二：（Ⅰ）取BC的中点E，AD的中点P．在△SAD中，SA=SD=a，P为AD的中点，所以，SP⊥AD．又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，所以，SP⊥平面ABCD．PE⊥AD．以PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，由向量法证明CD⊥SA． 
（Ⅱ）设

n

=（x，y，z）为平面CSA的一个法向量，则

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．

PE

为平面SAD的一个法向量，

m

=（0，1，0）为平面SAD的一个法向量，由向量法能求出二面角C-SA-D的大小．

解答：（本小题满分14分）
法一：
证明：（Ⅰ）因为平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD．
又因为SA?平面SAD
所以CD⊥SA．                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD⊥SA．
在△SAD中，SA=SD=a，AD=

2

a，
所以SA⊥SD，
所以SA⊥平面SDC．
即SA⊥SD，SA⊥SC，
所以∠CSD为二面角C-SA-D的平面角．
在Rt△CDS中，tan∠CSD=

CD

SD

=

3 a

a

=

3

，
所以二面角C-SA-D的大小

π

3

．      …（14分）
法二：
（Ⅰ）取BC的中点E，AD的中点P．
在△SAD中，SA=SD=a，P为AD的中点，所以，SP⊥AD．
又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．显然，有PE⊥AD．   …（1分）
如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S(0，0，

2

2

a)，A(

2

2

a，0，0)，B(

2

2

a，

3

a，0)，C(-

2

2

a，

3

a，0)，D(-

2

2

a，0，0)．      …（3分）
（Ⅰ）易知

CD

=(0，-

3

a，0)，

SA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
因为

CD

•

SA

=0，
所以CD⊥SA．       …（6分）
（Ⅱ）设

n

=（x，y，z）为平面CSA的一个法向量，
则有

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．…（7分）
显然，EP⊥平面SAD，所以

PE

为平面SAD的一个法向量，
所以

m

=（0，1，0）为平面SAD的一个法向量．…（9分）
所以 cos＜n，m＞=

2

2 2

=

1

2

，
所以二面角C-SA-D的大小为

π

3

．   …（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，求二面角的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．