Question

【题目】已知函数f（x）=2cos（ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2 ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2cos（ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．

化简得：f（x）=2sinxsinx+1+2sinxcosx

=2sin2x+sin2x+1

=2（ cos2x）+sin2x+1

= sin（2x﹣ ）+2

由正弦函数的图象及性质．

可得：2x﹣ ∈[ ， ]是单调增区间，即 ≤2x﹣ ≤ ，k∈Z．

解得： ≤x≤ ，

所以：函数f（x）的单调递增区间是[ ， ]，（k∈Z）

（2）解：由（1）可得f（x）= sin（2x﹣ ）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y= sin（x﹣ ）+2的图象，再把得到的图象向左平移 个单位，得到g（x）= sin（x+ ）+2的图象．

∴ = sin（ ）+2= sin +2=3

所以 的值为：3

【解析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求 的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．