Question

（2013•长宁区一模）已知函数f（x）=

1+x

+

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）=

a

x

•[f²（x）-2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若-m²+2tm+

2

≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由1+x≥0且1-x≥0可求得定义域，先求[f（x）]²的值域，再求f（x）的值域；
（2）F（x）=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

，令t=f（x）=

1+x

+

1-x

，则

1-x2

=

1

2

t2-1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=-

1

a

与t的范围[

2

，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；
（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，-m2+2tm+

2

≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-m2+2tm+

2

≤g_min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．

解答：解：（1）由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，
所以函数的定义域为[-1，1]，
又[f（x）]²=2+2

1-x2

∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[

2

，2]，
所以函数值域为[

2

，2]；
（2）因为F（x）=

a

2

•[f2(x)-2]+f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

，
令t=f（x）=

1+x

+

1-x

，则

1-x2

=

1

2

t2-1，
∴F（x）=m（t）=a（

1

2

t2-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴．
因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t=-

1

a

∈（0，

2

]，即a≤-

2

2

，则g（a）=m（

2

）=

2

；
②若t=-

1

a

∈（

2

，2]，即-

2

2

＜a≤-

1

2

，则g（a）=m（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
③若t=-

1

a

∈（2，+∞），即-

1

2

＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，
综上有g（a）=

a+2，- 1 2 ＜a＜0 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

，
（3）易得gmin(a)=

2

，
由-m2+2tm+

2

≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-m2+2tm+

2

≤g_min（a）=

2

恒成立，
⇒m²-2tm≥0，令h（t）=-2mt+m²，对所有的t∈[-1，1]，h（t）≥0成立，
只需

h(-1)=2m+m2≥0 h(1)=-2m+m2≥0

，
解得m的取值范围是m≤-2或m=0，或m≥2．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．