Question

设函数f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

，x∈[0，π]．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最小值及f（x）取最小值时x的集合；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）把x=

π

3

代入利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用两角和的正弦余弦公式及倍角公式化简并利用三角函数的单调性即可得出；
（3）利用复合函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）f(

π

3

)=cos(

π

3

+

2π

3

)+2cos2

π

6

=-1+2(

3

2

)2=

1

2

．
（2）f(x)=cosxcos

2π

3

-sinxsin

2π

3

+1+cosx=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin(

π

6

-x)+1．
因为x∈[0，π]，所以-

5π

6

≤

π

6

-x≤

π

6

，所以-1≤sin(

π

6

-x)≤

1

2

．
所以函数f（x）的最小值为0．
此时

π

6

-x=-

π

2

，即x=

2π

3

．所以x的取值集合为

2π

3

．
（3）由（2）可知：f(x)=-sin(x-

π

6

)+1，x∈[0，π]．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，取k=0，得

2π

3

≤x≤

3π

2

，
∴[

2π

3

，

3π

2

]∩[0，π]=[

2π

3

，π]．
所以，函数f（x）的单调递增区间是[

2π

3

，π]．

点评：熟练掌握两角和的正弦余弦公式、倍角公式、三角函数的单调性、复合函数的单调性是解题的关键．