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    （2012•茂名二模）在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C1：
    x2
    2
    +y2=1上，动点Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．
    （1）求证：动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
    （2）设椭圆C1上的三点A（x1，y1），B（1，
    		2
    2
    ），C（x2，y2）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
    （3）若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
    分析：（1）设动点P（x0，y0），则
    x02
    2
    +y02=1    ，根据两点间距离公式、点到直线的距离公式即可计算得到右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
    （2）由（1）结论可用离心率及点A、B、C横坐标表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差数列可得x1+x2=2，由A，C在椭圆上得
    x12
    2
    +y12=1    ，
    x22
    2
    +y22=1    ，两式相减整理得直线AC斜率，设线段AC的中点（m，n），由点斜式可得AC垂直平分线方程，由中点坐标公式可把该垂直平分线方程化为知含参数n的方程，据此可得定点．
    （3）易知直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
    y1=kx1+m
    x12
    2
    +y12=1
    得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，由直线与椭圆相切得△=0，x1=-
    2k
    m
    ①，由直线PQ与圆C2相切，则
    |m|
    		1+k2
    =r    ②，联立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|2表示为r的函数，再用基本不等式可得其最大值；
    解答：（1）证明：设动点P（x0，y0），则
    x02
    2
    +y02=1    ，
    右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：
    		(x0-1)2+y02
    |x0-2|
    =
    (x0-1)2+y02
    (x0-2)2
    =
    (x0-1)2+1-
    x02
    2
    (x0-2)2
    =
    		2
    2
    ，
    而a=
    		2
    ，c=1，所以离心率e=
    		2
    2
    ，
    故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
    （2）由（1）可得|AF|=
    		2
    2
    (2-x1)    ，|BF|=
    		2
    2
    (2-1)    ，|CF|=
    		2
    2
    (2-x2)    ，
    因为2|BF|=|AF|+|CF|，
    所以
    		2
    2
    (2-x1)+
    		2
    2
    (2-x2)    =2×
    		2
    2
    (2-1)    ，即得x1+x2=2，
    因为A，C在椭圆上，故有
    x12
    2
    +y12=1    ，
    x22
    2
    +y22=1    ，两式相减整理得：
    kAC=
    y2-y1
    x2-x1
    =-
    x2+x1
    2(y2+y1)
    =-
    1
    y2+y1
    ，
    设线段AC的中点（m，n），而m=
    x1+x2
    2
    =1，n=
    y1+y2
    2
    ，
    所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，
    则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（
    1
    2
    ，0）；
    （3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有
    由
    y1=kx1+m
    x12
    2
    +y12=1
    得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，
    故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-
    2k
    m
    ①，
    直线PQ与圆C2相切，则
    |m|
    		1+k2
    =r    ，得m2=r2（1+k2）②，
    由①②得k2=
    r2-1
    2-r2
    ，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+（1-
    x12
    2
    ）-r2
    =1+
    x12
    2
    -r2=1+
    2k2
    1+2k2
    -r2=3-r2-
    2
    r2
    ≤3-2
    		2
    =(
    		2
    -1)2    ，即|PQ|≤
    		2
    -1，
    当且仅当r2=
    		2
    ∈(1，4)    时取等号，
    故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为
    		2
    -1．
    点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大．
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    3
    		2
    2
    +1
    3
    		2
    2
    +1
    ．

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    		3
    sin
    x
    3
    cos
    x
    3
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    x
    3
    ．
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    ＜
    c
    b
    （a＞b＞c＞0）；③
    a+m
    b+m
    ＞
    a
    b
    （a，b，m＞0，a＜b）．

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