Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）(n∈N*），其中实数c≠0。
 （1）求{a_n}的通项公式；
 （2）若对一切k∈N*有a_2k>a_2k-1，求c的取值范围。

Answer 1

解：（1）由


猜测，n∈N*
下用数学归纳法证明
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，
即
则当n=k+1时


综上，对任何n∈N*都成立；
（2）由a_2k>a_2k-1，得

因
解此不等式得：对一切k∈N*，有c>c_k或c＜c_k′
其中c_k=

易知
又由
知
因此由c>c_k对一切k∈N*成立得c≥1
又
易知c_k'单调递增，故c_k'≥c₁'对一切k∈N*成立，因此由c<c_k'对一切k∈N*成立得
 
从而c的取值范围为。