Question

2．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$的最小值．

Answer 1

分析 将原函数式变形，可得y可看成平面直角坐标系中，点（x，0）到点A（-1，2）的距离与点（x，0）到点B（4，2）的距离的和，所以作（4，2）关于x轴的对称点B′，连接AB′，则AB′的长度便是y的最小值，所以求AB′的长度即可．

解答 解：y=$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{{{（x+1）}^{2}+（0-2）}^{2}}$+$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（0-2）}^{2}}$；
∴y表示平面直角坐标系中：点（x，0）到点A（-1，2）的距离与点（x，0）到点B（4，2）的距离的和；
如图：
，
作B点关于x轴的对称点B′（4，-2），连接AB′，
则AB′的长度即是y的最小值；
由图象得|AB′|=$\sqrt{41}$；
∴原函数y的最小值是$\sqrt{41}$．

点评 考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，转化的方法：将求函数的最小值转化成求距离和的最小值，数形结合的解题方法．