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已知函数

(1)若函数上为增函数,求正实数的取值范围;

(2)当时,求上的最大值和最小值;

(3)当时,求证:对大于1的任意正整数,都有

同下


解析:

(1)∵      ∴     ……………1分

∵  函数上为增函数

∴  恒成立,     ……2分

∴  恒成立,即恒成立

∴                 ………4分

(2)当时,

∴  当时,,故上单调递减;当时,,故上单调递增,  ……6分

在区间上有唯一极小值点,故  …7分

又 

∵      ∴ 

       ∴ 在区间上的最大值

综上可知,函数上的最大值是,最小值是0. ………………9分

(3)当时,,故上为增函数。

时,令,则,故      ……………11分

∴  ,即  ……12分

∴ 

       ∴        ……………13分

     ∴ 

即对大于1的任意正整数,都有     ……………14分

练习册系列答案
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(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“凹函 数”.试证当a≤0时,f(x)为“凹函数”.

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