Question

长度为a（a＞0）的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ为常数且λ＞0）．
（I）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型；
（II）当λ=2时，已知直线l₁与原点O的距离为

a

2

，且直线l₁与轨迹C有公共点，求直线l₁的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲求点P的轨迹方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点P满足于

AP

=λ

PB

得到一个关系式，再结合线段AB的长度为a（a＞0）化简即得点P的轨迹方程，最后对参数λ进行讨论来判断轨迹是什么图形即可．
（II）设直线l₁的方程：y=kx+h，先由直线l₁与原点O的距离为

a

2

，得出h与k的关系，再将直线方程代入（1）中的方程，利用根的判别式△=9（4+k²）a²-81h²≥0即可求出斜率k的取值范围．

解答：解：（I）设P（x，y）、A（x₀，0）、B（0，y₀），
则

AP

=λ

PB

?

x-x0=-λx y=λ(y0-y)

?

x0=(1+λ)x y0= 1+λ λ y

，
由此及|AB|=a?x₀²+y₀²=a²，得[(1+λ)x]2+[(

1+λ

λ

)y]2=a2，
即x2+

y2

λ2

=(

a

1+λ

)2．（*）（3分）
①当0＜λ＜1时，方程（*）的轨迹是焦点为(±

1-λ 1+λ

a，0)，
长轴长为

2

1+λ

a的椭圆；
②当λ＞1时，方程（*）的轨迹是焦点为(0，±

-1+λ 1+λ

a)，
长轴长为

2λ

1+λ

a的椭圆；
③当λ=1时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，

a

2

为半径的圆． （6分）
（II）设直线l₁的方程：y=kx+h，
据题意有

|h|

1+k2

=

a

2

，即|h|=

a

2

1+k2

． （9分）
由

y=kx+h 9x2+ 9 4 y2=a2

得9(1+

k2

4

)x2+

9

2

khx+

9

4

h2-a2=0．
因为直线l₁与椭圆9x2+

9

4

y2=a2有公共点，
所以△=9（4+k²）a²-81h²≥0，又把|h|=

a

2

1+k2

代入上式，
得k2 ≤

7

5

，∴-

35

5

≤k≤

35

5

． （12分）

点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．