Question

已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S_△BOC表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

Answer 1

【答案】分析：（1）将已知中的向量关系变形为等式的一边有一个向量，将等式平方求出cos（β-γ）的函数式，分离常数，利用二次函数的最值求出范围
（2）将k值代入向量等式求出三个向量的夹角，又三个向量的模相等，得到三个三角形全等，得到三角形的面积比．
解答：解：（1）由得
两边平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得
当k∈（0，2）时，k²-2k∈[-1，0），，
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴
当k=1时，cos（β-γ）取得最大值；
当时，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值时，k=1
此时，且的夹角为120°．
又，
∴的夹角为120°．
故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．
点评：本题考查向量的运算法则、两角和的公式、分离常数求二次函数的值域、利用向量的数量积求出向量的夹角．