Question

设a为实数，函数f（x）=x|x²﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=x|x²﹣1|．
∵x∈[﹣1，1]，
∴f（x）=﹣x3+x，则f′（x）=﹣3x²+1=﹣3（x﹣）（x+），
令f′（x）=0，得x=，x=-，
∵[﹣1，1]，
f（﹣1）=1﹣1=0，
f（﹣）=﹣（﹣）³﹣=，
f（）=，
f（1）=﹣1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最小值为，最大值为．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x²﹣ax，
∵f′（x）=3x²﹣a＞0恒成立，
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当或时，f（x）=x³﹣ax，
因为f′（x）=3x²﹣a=3（x+）（x﹣），﹣，，
所以，当或时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调减区间为及．
②当﹣ 时，f（x）=﹣x³+ax， f′（x）=﹣3x²+a=﹣3 ，
令f′（x）=0，得 ，x=﹣ ，列表，得  

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为 及 ， f（x）的单调减区间为 ．