Question

10．直线l：x-ky+2$\sqrt{2}$=0与圆C：x²+y²=4交于A，B两点，O为坐标原点，△ABC的面积为S，求S的最大值1．

Answer 1

分析 求出圆心到直线的距离d，|AB|，表示出面积，利用换元法、配方法，即可得出结论

解答 解：圆心到直线的距离d=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{4-\frac{8}{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}}$，
令t=1+k²（t≥1）
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{-2（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
∴t=4时，S的最大值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，以及换元法、配方法的应用，属于中档题．