Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{b_n}的前n项和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，试比较与的大小，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列（2分）
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b₁=4，=4
即数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列
所以T_n=（4ⁿ-1）（6分）
则==1+
又
=
猜想：7•4^n-1＞3n+1（8分）
①当n=1时，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式7•4^k-1＞3k+1成立（9分）
当n=k+1时，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N⁺均有7•4^n-1＞3n+1（11分）
又4ⁿ-1＞0，4n-1＞0
∴
所以对任意的n∈N⁺均有（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，移项分角因式得（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，得2a_n=a_n+1，得出数列{a_n}是公比为2的等比数列，由a₂+a₄=2a₃+4得a₁=2，
用等比数列的通项公式得出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，得数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列，由等比数列的前n项和求出T_n，进一步表示出与，两者作差，不能判号的那部分用数学归纳法来证：第一步，n=1时，不等式成立，第二步，假设n=k时，结论成立，下面证明n=k+1时也成立．
点评：本题难点之一是求数{a_n}的通项公式时，要把题干中的等式变形得到相邻两项的关系；难点之二在于要计算出两个复杂的式子，在学生的计算能力越来越弱的情况下，这个实属不易；难点之三在于作差比较大小，得出的结果不能判别符号，不少学生在此会放弃；难点之四在于要想到用数学归纳法来证明差中的一部分．