Question

设函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx，若f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）存在x0∈[

1

4

，2]使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

Answer 1

分析：（1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得f′(1)=0，f′(

1

2

)=0，列出方程组进行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，转化为c≥[f（x）]_min，再由导数的符号确定函数在已知区间上的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．…（1分），
∵f(x)在x=1，x=

1

2

处取得极值，
∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0…（2分）
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得

a=- 1 3 b=- 1 3

，
∴所求的a，b的值分别为-

1

3

，-

1

3

…（4分）
（ii）因在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

．…（6分）
f'（x）导数的符号如图所示
∴f（x）在区间[

1

4

，

1

2

]，[1，2]递减；
[

1

2

，1]递增；…（7分）
∴f（x）在区间 [

1

4

，2]上的极小值是f(

1

2

)=

1

3

-ln2．…（8分）
而f(2)=-

7

6

+1n2，且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，
又∵e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0…（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2，即c的最小值是-

7

6

+ln2…（12分）

点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及恒成立转化问题，考查了分析及解决问题的能力．