Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）记b_n=

an

λn

-（

2

λ

）ⁿ，求证数列{b_n}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明存在k∈N^*，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

对任意n∈N^*均成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），λ＞0，可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，即b_n+1-b_n=1，从而可得结论；
（II）分类讨论，利用错位相减法，即可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）推测数列{

an+1

an

}的第一项

a2

a1

最大，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），λ＞0，
可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，即b_n+1-b_n=1
∴{b_n}为等差数列，且其公差为1，首项为0，
∴

an

λn

-(

2

λ

)n=n-1，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）解：设T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1，
∴T_n=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

，
这时数列{a_n}的前n项和Sn=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2n+1-2
当λ=1时，T_n=

n(n-1)

2

．
这时数列{a_n}的前n项和Sn=

n(n-1)

2

+2n+1-2
故Sn=

n(n-1) 2 +2n+1-2，λ=1 (n-1)λn+2-nλn+1+λ2 (1-λ)2 +2n+1-2，λ≠1

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列{

an+1

an

}的第一项

a2

a1

最大，下面证明：

an+1

an

＜

a2

a1

，n≥2③．　　　　③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．
因为（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．
（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．
因此，存在k=1，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

=

a2

a1

对任意n∈N^*均成立．

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．